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The relevance that the application of what is learned in Mathematics to everyday situations has in student learning has led us to develop an experiment on teaching the logarithmic function using modelling tasks. Based on this experiment, we intend to characterize the activities of 12th-grade students in the performance of modelling tasks concerning topics of logarithmic functions and identify the difficulties they may present while solving these tasks using a graphing calculator. When adopting a qualitative and interpretative approach, data were collected through students' written records while solving the proposed tasks using the graphing calculator. The results indicate that the students show that the modelling tasks promoted group work and their interest and participation in class. During the exploration of the tasks, students performed activities that result from the accomplishment of modelling phases such as understanding the statement of the task, organizing and analyzing data, building and validating the model that best fits the data, and exploring the model, either in the introduction of the logarithmic function and its derivative or in the consolidation of the acquired knowledge. In such activities, some students presented difficulties regarding the properties and characteristics of the logarithmic function and its graphic and symbolic representation. The phases of the modelling cycle also made it difficult for students to use the graphing calculator, namely in performing statistical regressions and setting the visualization window.

Due to their abstract nature, representation of mathematical concepts through different registers favors their understanding. In the case of ‘‘sequences and regularities’’, it becomes propitious the exploration of different registers of representation in the institution of topics, such as term, order, formation law, and generating expression. Considering these assumptions, a teaching experiment was performed to understand the contribution of multiple representations in the learning of ‘‘sequences and regularities’’ by 3rd-grade students. The study adopted a qualitative methodology and the findings of the study reveal that students initially presented a smaller variety of representations, which increased during the teaching experience. Students showed a greater preference for pictorial representations and made explicit connections between different representations throughout their resolutions. Pictorial representations and tables allowed close and distant generalizations, the determination of the formation law, and the generating expression. The greatest difficulties of the students resulted from the interpretation of the statements of the proposed tasks, which were also evident in the representation (natural language), showing a greater number of incorrect answers. This result shows that some students still have difficulties in justifying their reasoning, either in writing or orally., This work is also funded by CIEd – Research Centre on Education, Institute of Education, University of Minho, projects UIDB/01661/2020 and UIDP/01661/2020, through national funds of FCT/MCTES-PT; by CIEC - Research Center for Child Studies, Institute of Education, University of Minho, projects under the references UIDB/00317/2020 and UIDP/00317/2020; and by National Funds through FCT – Fundação para a Ciência e a Tecnologia, I. P. under the project UIDB/00194/2020.

A exploração de diferentes representações promove a compreensão dos tópicos de funções. Partindo deste pressuposto, com este estudo pretende-se analisar o contributo da representação gráfica na aprendizagem da noção de função inversa e da paridade de uma função por alunos do 10.º ano de escolaridade e identificar dificuldades na exploração dessa representação. Na procura de responder a este objetivo, adotou-se uma abordagem qualitativa e interpretativa para compreender as ações dos alunos na resolução das tarefas propostas. A análise das resoluções mostra que a representação gráfica serviu de suporte para a instituição das definições dos tópicos em estudo. E isto apesar de alguns alunos revelarem dificuldades ao interpretar e ao construir gráficos; ao identificar imagens e imagens inversas em gráficos de funções; ao representar determinadas características gráficas associadas a alguns conceitos, como é o caso da relação entre a paridade de uma função e a simetria na sua representação gráfica (confundindo eixo de simetria e de reflexão). Globalmente, este estudo mostra como a abordagem de conceitos a partir da representação gráfica pode contribuir para a sua compreensão., The work with different representations promotes a deeper understanding of topics of functions. Based on this assumption, this study aims to analyze the contribution of the graphical representation to the learning of the inverse function and of the parity of a function by 10th grade students. The study adopts a qualitative and interpretative methodology to understand the students’ actions while solving the proposed tasks. The analysis of the resolutions shows that the graphic representation served as support for the development of the definitions of the topics under study. And this despite the fact that some students revealed difficulties in the interpretation and construction of graphs; in identifying images and inverse images in function’s graphs; in representing certain graphical characteristics associated with some concepts of functions, such as the relationship between the parity of a function and the symmetry on its graphical representation (mixing up the axis of symmetry and the axis of reflection). Overall, this study shows how the approach to the concepts based on a graphical representation can contribute to their understanding., FCT -Fundação para a Ciência e a Tecnologia(PTDC/CED-EDG/32422/2017)

At present, humour has an increasing acceptance and appreciation, because we recognize the positive contributions to the well-being of people in contexts as diverse as health, business, and entertainment. What happens in Education and, in particular, in Mathematics teaching? To answer this question, we designed this quantitative study with a sample of 1088 Iberian mathematics teachers (Portuguese and Spanish), that teach from the early years through to higher education. Through the use of a questionnaire, we seek to find out if Portuguese and Spanish teachers who teach Mathematics, throughout the various levels of education, appreciate humor, what perspective they have of it and its educational value, and if they use it in teaching the discipline. The study also sought to determine if the teaching level in which teachers teach mathematics has an influence on the perception and use of humor for instructional purposes. The study also investigates if there are any significant differences between Portuguese and Spanish teachers in relation to these aspects. The results show that the overwhelming majority of teachers, at all levels of teaching, recognize the meaning of humor, consider that they have a sense of humor, justify its use in mathematics teaching and have already seen it being used or used it in their classes, with the goal of creating a good learning environment and making students think. The study reveals differences among teachers at different levels of teaching, indicating that there is a greater predisposition of teachers in the initial years, in comparison to other years, to value and use humor in mathematics teaching. The study also reveals differences between Portuguese and Spanish teachers, with Portuguese presenting a higher average agreement in most items. O humor tem uma aceitação crescente, por se lhe reconhecer contributos positivos para o bem-estar das pessoas, em contextos como a saúde e as empresas. O que acontece na Educação, em particular, no ensino da Matemática? Na procura desta resposta, desenhamos este estudo, de natureza quantitativa, com uma amostra de 1088 professores de Matemática (portugueses e espanhóis). Com recurso a inquérito, averigua se professores que ensinam Matemática, ao longo dos diversos níveis de ensino, apreciam o humor, que perspectiva têm dele e do seu valor educativo e se o utilizam no ensino. O estudo averigua, ainda, se o nível de ensino em que lecionam tem influência na perceção e uso do humor com fins instrucionais. O estudo procura verificar se há diferenças significativas entre os professores portugueses e espanhóis em relação a estes aspectos. Os resultados revelam que a maioria dos professores, de todos os níveis de ensino, reconhecem o significado de humor, consideram que têm sentido dehumor, justificam o seu uso no ensino da Matemática e já o viram utilizar ou utilizam nas aulas, com o objetivo de criar bom ambiente de aprendizagem e de fazer pensar os alunos. O estudo revela diferenças entre os professores dos diversos níveis de ensino, indicando que existe maior predisposição dos professores dos Anos Iniciais, comparativamente com os demais, para valorizar e utilizar o humor no ensino. O estudo revela também diferenças entre professores portugueses e espanhóis, sendo os portugueses a apresentarem uma média de concordância superior na generalidade dos itens. info:eu-repo/semantics/publishedVersion

The use of different registers to represent mathematical concepts enhances understanding. For example, rational numbers can assume pictorial, symbolic and natural language representations and this kind of change improves learning. Based on these assumptions, a teaching experiment for the learning of rational numbers by 2nd grade students was conducted, so as to allow for an understanding of how semiotic representations contribute to the learning of rational numbers, particularly with concern to unit fractions. Using a qualitative methodology and a content analysis of the students' written productions, the study shows a greater use of the pictorial representation register compared to the other types. Students' main difficulties in learning rational numbers are related to the pictorial representation of unit fractions and to an understanding of the concept of fraction itself. Some of these difficulties result from errors such as the misrepresentation of unit fractions in the case of the pictorial register, the association of the concept "half" with multiple unit fractions, the absence of the fraction bar when it comes to the symbolic register, the use of everyday terms to represent fractions when students rely on the natural language register, and the misrepresentation of rational numbers when the graphic register is used., This work is funded by National Funds through the FCT - Foundation for Science and Technology, I.P., within the scope of the project Refª UIDB/05507/2020. Furthermore, we would like to thank the Centre for Studies in Education and Innovation (CI&DEI) and the Polytechnic of Viseu for their support. This work is also funded by CIEd – Research Centre on Education, Institute of Education, University of Minho, projects UIDB/01661/2020 and UIDP/01661/2020, through national funds of FCT/MCTES-PT.

El análisis del desempeño matemático de los alumnos favorece el ajuste y la individualización de los procesos educativos para esta área de aprendizaje. Por su relevancia en la vida cotidiana, el docente deberá de tener presente la funcionalidad y transferencia que tienen los aprendizajes matemáticos. La generalización de investigaciones que aún en teoría y práctica se conforman como imprescindibles. En este sentido, son escasos los estudios en el plano curricular para la Matemáticas relativos a la educación de los escolares superdotados y/o matemáticamente talentosos. De esta forma, se torna pertinente analizar tales competencias matemáticas y en qué factores estos alumnos sobresalen. El presente estudio tiene como propósito analizar los tipos de raciocinio y representaciones matemáticas a partir de tareas de resolución de problemas desarrolladas por escolares superdotados diagnosticados en comparación con alumnado escolarizado en su mismo nivel educativo con un buen rendimiento en el área de Matemáticas. Se han considerado 42 escolares evaluados como superdotados, y se equiparan con 52 alumnos de rendimiento alto considerando su edad y año de escolaridad (escolares entre los 10 y los 15 años de edad). Los resultados sugieren la existencia de diferencias estadísticamente significativas en determinadas tareas y representaciones, mostrando los escolares con mayor potencialidad representaciones más complejas y raciocinios más elaborados en general. Estudios con estos alumnos permiten conocer la naturaleza de sus potencialidades y favorecer la individualización de los procesos educativos., The analysis of the mathematical performance of the students favors the adjustment and individualization of the educational processes for this area of learning. Due to its relevance in daily life, the teacher must bear in mind the functionality and transfer of mathematical learning. The generalization of research that combines theory and practice is essential. In this sense, there are few studies at the curriculum level for mathematics related to the education of gifted and/or mathematically talented students. Thus, it becomes pertinent to analyze such mathematical skills and the factors in which these students stand out. The purpose of this study is to analyze the types of mathematical reasoning and representations based on problem-solving tasks expressed by gifted students on an educational level with a good performance in the area of Mathematics. Forty-two students were evaluated as gifted, and were compared with 52 high-performance students in terms of age and school year (10-15 years old). The existence of statistically significant differences in certain tasks and representations was verified, with the schoolchildren with the greatest potential showing more complex representations and more elaborate reasoning. Knowing the nature of the potentialities favors the individualization of the educational processes., A análise do desempenho matemático dos alunos favorece o ajustamento e a individualização dos processos educativos para esta área de aprendizagem. Devido à sua relevância na vida quotidiana, o docente deve ter em conta a funcionalidade e transferência das aprendizagens matemáticas. A generalização de investigações que combinam teoria e prática é considerada essencial. Neste sentido, são escassos os estudos no plano curricular para a Matemática relativos à formação de alunos sobredotados e/ou matematicamente talentosos. Deste modo, torna-se pertinente analisar essas competências matemáticas e em que fatores esses alunos se destacam. O presente estudo tem como objetivo analisar os tipos de raciocínio e de representações matemáticas a partir de tarefas de resolução de problemas desenvolvidas por alunos com diagnóstico de sobredotação em comparação com alunos matriculados no mesmo nível de escolaridade com bom desempenho na área da Matemática. Foram considerados 42 alunos avaliados como sobredotados e comparados com 52 alunos de alto rendimento considerando a sua idade e a etapa de escolaridade (alunos entre os 10 e os 15 anos). Os resultados sugerem a existência de diferenças estatisticamente significativas em determinadas tarefas e representações, evidenciando os alunos com maior potencial representações mais complexas e raciocínios mais elaborados em geral. Os estudos com estes alunos permitem conhecer a natureza das suas potencialidades e favorecem a individualização dos processos educativos., L’analyse des performances mathématiques des élèves favorise l’ajustement et l’individualisation des processus éducatifs pour ce domaine d’apprentissage. En raison de son importance dans la vie quotidienne, l’enseignant envisager la fonctionnalité et le transfert de l’apprentissage mathématique. La généralisation des investigations combinant théorie et pratique est considérée comme essentielle. À cet égard, les études sur des programmes pour les mathématiques liées à l’éducation des écoliers surdoués et / ou talentueux sont rares. Ceci permet de réfléchir sur ces compétences mathématiques et oú des facteurs ces élèves sont excellents. Cette étude vise à analyser les types de raisonnement et de représentations mathématiques à partir de la résolution de problèmes par des étudiants surdoués diagnostiqués par rapport aux élèves au même niveau d’instruction avec de bons résultats dans le domaine des mathématiques. Quarante-deux élèves ont été évalués comme surdoués et ils sont assimilés à 52 élèves très performants tenant compte de leur âge et de leur année de scolarité (écoliers âgés de 10 à 15 ans). Les résultats semblent indiquer l’existence de différences statistiquement significatives dans certaines tâches et représentations, montrant aux écoliers avec une plus grande potentialité des représentations, plus complexes et avec un raisonnement plus élaboré en général. Les études avec ces étudiants nous permettent de connaître la nature de leurs potentialités et favorisent l’individualisation de l’apprentissage.

This study analyses humour in a school context in Portugal and Spain. The study aims to respond to the following questions: (1) Do mathematics teachers consider that they have a sense of humour? (2) What conception do they have of humour? (3) Do they consider humour to be compatible with the teaching of mathematics? and (4) If teachers use humour in the teaching of mathematics, how do they use it and for what purpose? To carry out this study, we adopted a mixed methodology. Mathematics teachers, Portuguese and Spanish, teaching from primary school level to higher education, were asked to respond to a questionnaire, comprising open and closed questions. Data analysis combines statistical with content analysis. The main results reveal that most teachers claim they appreciate/value humour and acknowledge its educational relevance. Most teachers claim they use it regularly and present examples of its use. These examples show small differences between Portuguese and Spanish teachers. DCT / IP Viseu / CI&DETS info:eu-repo/semantics/publishedVersion

Na aprendizagem de conceitos de Álgebra Linear os alunos do ensino superior tendem a manifestar dificuldades devido à sua natureza abstrata, o que podem ser minimizadas caso se explore a conexão entre as diferentes representações de um mesmo conceito. Recorrendo a um ensino que explorou as representações algébrica e geométrica de conceitos de Álgebra Linear, procuramos averiguar como os alunos compreendem as transformações entre as diferentes representações, algébrica e geométrica, dos conceitos de coordenadas e mudança de base na resolução de uma tarefa após esse ensino. Adotamos uma abordagem qualitativa e interpretativa na procura de compreender como os alunos operacionalizam os conceitos de coordenadas e de mudança de base nessas representações. A análise das respostas dos alunos à tarefa proposta aponta para um melhor desempenho da transição da representação algébrica para a geométrica do que nas transformações realizadas dentro da própria representação algébrica. As maiores dificuldades relacionam-se com a interpretação equivocada dos conceitos envolvidos, a linguagem simbólica e com o uso inadequado de conceitos e procedimentos advindos da Geometria Analítica ou já abordados na própria Álgebra Linear.

Este artigo tem como finalidade apresentar os resultados preliminares da pesquisa em desenvolvimento, na área em Educação Matemática pela Universidade do Minho (Portugal). Faz-se um estudo de caso em dois contextos profissionais, com um viés sobre a Etnomatemática em dois cursos da modalidade de ensino PROEJA: Técnico em Edificações e Técnico em Reciclagem, do Instituto Federal de Brasília. Verificando o uso do conhecimento informal nas profissões de alguns alunos que atuam na construção civil e catadores de materiais recicláveis. O objetivo da investigação é averiguar o efeito de uma intervenção didática que contemple o conhecimento matemático adquirido pelos alunos do PROEJA em atividades profissionais na aprendizagem da matemática. Baseia-se na metodologia qualitativa, por meio de um estudo de caso, obteve-se os dados por observação, questionamentos, registros, relatórios e recursos audiovisuais. Os resultados preliminares identificaram ausência da Etnomatemática na práxis docente e, observou-se na análise dos relatórios dos 12 alunos do curso Técnico em Edificações, que 7 deles trabalham na construção civil, sendo que apenas 4 descreveram o uso da matemática informal nas atividades laboral. Em relação aos resultados do curso Técnico em Reciclagem, fizeram parte da investigação 12 alunos, 6 deles trabalham como catadores de galpão e identificaram o uso da matemática, de forma limitada. Ressalta-se que não houve critério para o número total de alunos de ambos os cursos., This article aims to present the preliminary results of research in development, in the area of Mathematics Education by the University of Minho (Portugal). A case study is carried out in two professional contexts, with a bias on Ethnomathematics in two courses of the PROEJA teaching modality: Building Technician and Recycling Technician, from the Federal Institute of Brasília. Checking the use of informal knowledge in the professions of some students who work in civil construction and recyclable materialcollectors. The objective of the investigation is to investigate the effect of a didactic intervention that contemplates the mathematical knowledge acquired by PROEJA students in professional activities in learning mathematics. Based on the qualitative methodology, through a case study, data were obtained by observation, questioning, records, reports and audiovisual resources. The preliminary results identified the absence of Ethnomathematics in the teaching practice and, it was observed in the analysis ofthe reports of the 12 students of the Technical course in Buildings, that 7 of them work in civil construction, and only 4 described the use of informal mathematics in work activities. Regarding the results of the Technical Course in Recycling, 12 students took part in the investigation, 6 of them work as shed pickers and identified the use of mathematics, in a limited way. It is noteworthy that there was no criterion for the total number of students in both courses.

Studies in the field of teacher education identify reflection as a strategy to deal with the complexity and diversity of situations that include the teaching activity. It is about training a professional who is able to develop the teaching practice in line with the demands and reality of the social and cultural context where teaching takes place. In this sense, the Field Education Degrees of the Federal University of Minas Gerais have their curricular structure organized in spaces and times of training in an alternation regime. The proposal of this alternation training raises the immersion of the trainee in the reality of the peasant communities and their schools with the intention of perceiving it as a privileged and legitimate space of their action of being and behaving as a teacher. In the execution of the Course Completion Work (TCC), the trainee performs a study and elaborates a pedagogical proposal on issues raised on the community in which he is inserted. With reference to TCC, we try to identify the two graduates’ perceptions about the knowledge produced in the peasant community in search of explanation and meaning of phenomena that they contact daily. Adopting a qualitative and interpretative methodology, we look for indicators that help us to understand new 'looks' about the daily life of the community. These 'new' perspectives are fundamental in building the profile of these actors who will be the future teachers of mathematics in the rural schools and who can lead the school to occupy a political and purposeful space in the life of the community. This study highlights the need to move forward with the materialization of the peasant school role in teaching practice.

A relevância que a resolução de problemas tem nos currículos de matemática levou-nos a averiguar as estratégias utilizadas por futuros professores na resolução de dois problemas de Geometria: um de contagem e outro de caminho mais curto. No problema de contagem, recorrem a esquemas para representar a situação e a tabelas para organizar e procurar regularidades nos dados. Nem todos procuram generalizar. Quanto ao problema de caminho mais curto, os futuros professores recorrem a esquemas para ilustrar a situação, que se tornam insuficientes para compreender e encontrar a solução do problema. Na resposta a este problema os futuros professores utilizam a linguagem natural sem qualquer sustentação matemática. A dificuldade que emerge nas suas resoluções indicia dever-se à ausência de mobilização de conhecimentos geométricos que ajudem a resolver o problema., The relevance of problem solving in mathematics curricula has led us to investigate the strategies used by prospective teachers in solving two Geometry problems: one of counting and one of shorter path. In the counting problem, prospective teachers use schemas to represent the situation and tables to organize and look for regularities in the data. Not all of them tries to generalize. As for the shortest path problem, prospective teachers use schemes to illustrate the situation, which become insufficient to understand and find the solution to the problem. In response to this problem prospective teachers use natural language without any mathematical support. The difficulty that emerges in their resolutions is due to the lack of mobilization of geometric knowledge that help solve the problem., CIEC - Centro de Investigação em Estudos da Criança, IE, UMinho (UI 317 da FCT), Portugal, Fundos Nacionais através da FCT (Fundação para a Ciência e a Tecnologia) e cofinanciado pelo Fundo Europeu de Desenvolvimento Regional (FEDER) através do COMPETE 2020 – Programa Operacional Competitividade e Internacionalização (POCI) com a referência POCI-01-0145-FEDER-007562, Este trabalho é financiado pelo CIEd — Centro de Investigação em Educação, UID/CED/01661/, Instituto de Educação, Universidade do Minho, através de fundos nacionais da FCT/MCTES-PT, info:eu-repo/semantics/publishedVersion

Se realiza un análisis longitudinal para la competencia matemática de los resultados de España y Portugal en las evaluaciones PISA en sus ediciones de los años 2000, 2003, 2006, 2009, 2012 y 2015. PISA es el mecanismo utilizado por la OCDE para evaluar las competencias clave de los sistemas educativos. Es por ello que, a partir de sus conclusiones, dichos países cuentan con un marco de actuación para el desarrollo de políticas educativas propias de la mejora de sus prácticas educativas, en este caso para la competencia matemática, incluidas las dirigidas a alumnos con rendimiento matemático excelente.

A prova é uma atividade que desempenha um papel fundamental na construção do conhecimento matemático, razão pela qual adquire relevância nos programas escolares de Matemática. Admitindo que as conceções dos professores sobre a prova afetam a forma como ela é tratada em sala de aula, procuramos averiguar as conceções de professores portugueses de Matemática do 3.º ciclo do Ensino Básico (do 7.º ao 9.º ano) sobre diferentes aspetos da prova matemática e a influência que a experiência profissional tem nessas conceções. Adotando uma abordagem metodológica mista, recolhemos os dados através de um questionário, respondido por 72 professores, e de uma entrevista a duas professoras com experiências profissionais diferentes. Os resultados revelam que os professores, sobretudo os que têm menos tempo de docência, consideram que a prova matemática tem uma natureza distinta da de outras disciplinas, é uma atividade essencial para a construção do conhecimento matemático, tem como função verificar e explicar a veracidade de uma afirmação e permite desenvolver o raciocínio e a comunicação matemática. No que respeita à participação dos alunos na atividade de provar, são os professores com mais tempo de docência que mais o destacam, o que permite aos alunos perceberem a natureza desta atividade. Em termos curriculares, são os professores com menos experiência docente que mais concordam com a presença da prova logo nos primeiros anos, embora salientem que esta atividade só faz sentido em alguns tópicos programáticos., Proof is an activity that plays a key role in the construction of mathematical knowledge, which is why it acquires relevance in mathematics programs. Admitting that teachers' conceptions about proof influence how it is handled in the classroom, we tried to investigate the conceptions of Portuguese mathematics teachers from the 3rd cycle of basic education (grade 7 to 9) on different aspects of mathematical proof and the relationship that the teachers’ experience has in these conceptions. Adopting a mixed methodological approach, we collected data through a questionnaire answered by 72 teachers, and an interview with two teachers with different professional experience. The results show that teachers, especially those with less experience, consider that mathematical proof has a distinct nature from other disciplines, it is an essential activity for the construction of mathematical knowledge and its function is to verify and explain the truth of a statement by developing reasoning and mathematical communication. With respect to student participation in the activity of proving, teachers with more teaching experience are the ones that most highlight it, which allows students to realize the nature of this activity. In curriculum terms, teachers with less experience are the ones that most agree with the presence of proof in early grades, while emphasizing that this activity only makes sense in some program topics., Este trabalho contou com o apoio de Fundos Nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e a Tecnologia no âmbito do projeto PEst-OE/CED/UI1661/2014, do CIEdUM e do projeto UID/Multi/04016/2016, info:eu-repo/semantics/publishedVersion

Resumo O manual escolar é um instrumento de trabalho muito utilizado tanto pelos professores, como pelos alunos. Apesar das críticas a que é sujeito, sobretudo pelo impacto negativo que pode marcar a profissionalidade docente, o manual tem conseguido afirmar-se como importante auxiliar das práticas pedagógicas. Importa, por isso, averiguar de que modo o manual escolar é utilizado pelos professores de Matemática, procurando inferir se o utilizam como mero auxiliar didático ou se determina muito do trabalho que é realizado na e para a sala de aula. Os dados foram recolhidos através de entrevistas semiestruturadas e da observação não participante. A generalidade dos professores que participaram no estudo integra os manuais escolares tanto ao nível da preparação, como da concretização dos processos de ensino-aprendizagem. A maioria dos professores não recorre, com a frequência que seria desejável, a outros materiais didáticos, o que, para além de indiciar uma certa dependência do manual escolar, pode contribuir para a sua progressiva desprofissionalização. Abstract The textbook continues to be a working tool widely used in schools, both by teachers and students. Despite the criticism it is subject to, especially by the negative impact it can bring to teachers' professionalism, this teaching material has managed to be considered as an important auxiliary of pedagogical practices. It is vital, therefore, to ascertain how textbooks are used by math teachers, trying to infer whether they use it as mere teaching aid or if it determines much of the work performed in and for the classroom. The data was collected through semi-structured interviews and non-participant observation. It appears that the majority of the teachers who participated in the study include textbooks in their daily curricular activities, both in the preparation and the implementation of the teaching-learning processes. Most teachers don't use, as often as it would be desirable, other materials or educational sources, which, in addition to indicate a certain dependence of these teaching resources, can contribute to its progressive ‘de-professionalization’.

© Springer Nature Switzerland AG 2019. Nowadays perspectives on mathematics education argue for student-centred maths teaching that enables students to engage into learning activities and to play an active role in learning. Information and communication technological evolution provides teachers with an ever-increasing diversity of digital and smart tools that may successfully promote students’ deep engagement with the learning tasks. However, mathematics teachers need to learn how to integrate mathematics pedagogical content knowledge with technological knowledge so that they can develop technologically enhanced mathematics pedagogical content knowledge (TEMPCK). TEMPCK is required for teachers to select the best technological tool to teach a given content in the best way to a certain group of students in a specific social and cultural context. Initial mathematics teacher education has a key responsibility on this issue as it is expected to form updated teachers, able to effectively cope with the technological challenges of the moment as well as with the unanticipated challenges of future technology advancements. This chapter presents a few attempts of prospective mathematics teachers to use digital tools to teach different mathematics topics to secondary school students. Suggestions are made to increase the smartness of the learning environments used by the prospective teachers., (undefined), info:eu-repo/semantics/publishedVersion

Este estudo pretende conhecer as perceções de professores de matemática do final do ensino básico e do ensino secundário relativamente ao ensino de Funções e ao uso de materiais tecnológicos. Para tal, foi adotada uma metodologia mista, tendo sido recolhidas as perceções de 129 professores através de questionário e de quatro professoras através de entrevista. As principais conclusões apontam para semelhanças nas perceções dos professores, mas também para algumas diferenças relativamente aos ciclos de ensino. No ensino de Funções, os manuais são amplamente utilizados, mas de forma diferente entre os professores de cada um dos ciclos em estudo. O mesmo sucede com as representações e com o uso que é feito das tecnologias. O envolvimento dos alunos nas atividades de estudo é outro aspeto considerado importante, mas uma vez mais existem diferenças. Também a avaliação tem semelhanças, mas difere quanto à valorização do trabalho de grupo. This study intends to understand the perceptions of mathematics teachers from lower and upper secondary regarding the teaching of Functions and the use of technological materials. For that, a mixed methodology was adopted, and the perceptions of 129 teachers were collected through a questionnaire and four teachers through an interview. The main conclusions point to similarities in teachers' perceptions, but also to some differences related to the teaching level of lower or upper secondary. In the teaching of Functions, textbooks are widely used, but differently depending on the level being taught. The same happens with the representations and with the use that is made of the technologies. Involvement of students in work is another aspect considered important, but again there are differences. The assessment also has similarities, but differs in the valuation ascribed to group work.

O desempenho cognitivo e académico de alunos com altas capacidades nem sempre é entendido em termos dos processos cognoscitivos envolvidos na sua aprendizagem. Na ausência dessa análise, psicólogos e professores estão limitados na real avaliação das competências destes alunos e na implementação de práticas de ensino que atendam às suas especificidades e necessidades. Partindo desta realidade, procura-se averiguar como um grupo de alunos de Portugal e de Espanha, com idades entre os 9 e os 12 anos, resolvem problemas. A amostra foi constituída para efeitos comparativos por alunos com elevado potencial intelectual e por alunos regulares. Os dados obtidos mostram um superior desempenho por parte dos alunos com alta capacidade, mesmo controlando o efeito de outras variáveis., The cognitive and academic performance of high ability students is not always understood in terms of the cognitive processes involved in their learning. In the absence of this analysis, psychologists and teachers are limited in the real evaluation of the competences of these students and in the implementation of teaching practices that meet their specificities and needs. Starting from this reality, we try to find out how a group of students from Portugal and Spain, between the ages of 9 and 12, solve math problems. The sample was composed for comparison purposes by students with high intellectual potential and by regular students. The data obtained show a superior performance on the part of the students with high capacity, even controlling the effect of other variables., info:eu-repo/semantics/publishedVersion

A licenciatura em Educação do Campo, no Brasil, na área da Matemática tem como eixo central a Pedagogia da Alternância e a relação entre os pressupostos teóricos a Formação de Professores, a Educação Matemática e as problematizações da Escola do Campo. Este estudo procura identificar especificidades apontadas por futuros professores de matemática sobre a sua formação para Escolas do Campo. Os licenciandos em seus relatos mostram sintonia com as diretrizes da Educação do Campo. Contudo, percebe-se dificuldades em concretizar propostas para o ensino da matemática direcionado às escolas do campo., The teaching degree in Rural Education in Brazil, in the area of Mathematics, has as its central axis the Pedagogy of Alternation and the relationship between the theoretical assumptions of Teacher Training, Mathematics Education and the problematizations of the Rural School. This study aims at identifying specificities indicated by future Mathematics teachers about their training to work in Rural Schools. The graduates’ accounts are in accordance with the guidelines for Rural Education. However, it is difficult to implement proposals for the teaching of Mathematics in Rural Schools., info:eu-repo/semantics/publishedVersion

Este artigo discute a forma como uma futura professora de Matemática mobiliza e desenvolve o seu conhecimento didático, ao nível do conhecimento do conteúdo matemático e do conhecimento da prática letiva, na preparação e análise de tarefas de modelação matemática, recorrendo à tecnologia. Este trabalho foi desenvolvido na fase final da sua formação inicial, no momento em que realiza o seu estágio profissional. Trata-se de um estudo interpretativo, na forma de estudo de caso qualitativo, que mostra que a realização de tarefas de modelação matemática e a sua reflexão, recorrendo à tecnologia, durante o estágio profissional, constitui uma ocasião de desenvolvimento profissional da futura professora, tanto em relação ao seu conhecimento do conteúdo matemático, ao ativar conhecimento trabalhado durante a sua formação inicial, como do seu conhecimento instrucional. Desta forma, as tarefas de modelação permitiram que a estagiária compreendesse que, para além do modelo transmissivo, existem outros modelos de ensino, com um cunho exploratório, que passam pela proposta pelo professor de tarefas matemáticas abertas e com um grau de dificuldade mais elevado, que envolvem os alunos numa atividade matemática intensa e que podem redundar em aprendizagens matemáticas significativas.

El profesor de matemáticas en prácticas ha vivido como alumno, a menudo, situaciones de aprendizaje muy diferentes de las recomendaciones curriculares actuales. Es el caso de Fábio, quien al principio de sus prácticas propone a los alumnos sobre todo ejercicios y usa solo la tiza y la pizarra. Considerando que el conocimiento didáctico se reformula desde la práctica, este artículo analiza la influencia de un dispositivo de formación que integra las TIC (e-mail y foro) en el desarrollo de aspectos de ese conocimiento - propuesta de tareas y formas de usar materiales tecnológicos. El estudio de caso de este profesor en prácticas, cualitativo e interpretativo, se basa en entrevistas y en el análisis de la documentación generada en el dispositivo de formación. Los resultados ponen de manifiesto que las TIC permitieron el intercambio y la discusión de experiencias de clase y el trabajo conjunto con otros profesores en prácticas y sus tutores. Fábio pasó a proponer a sus alumnos, además de ejercicios, tareas más abiertas y desafiantes y a proporcionarles la exploración de materiales tecnológicos. Sus reflexiones sobre las tareas y las formas de integrar los materiales tecnológicos en sus clases contribuyeron a ampliar su conocimiento didáctico y a que viera su propia práctica como campo de aprendizaje.

A natureza das tarefas determina a dinâmica das atividades da sala de aula. Entre a tipologia de tarefas, as características das de modelação proporcionam aos alunos a oportunidade de se envolverem na construção do conhecimento matemático. Partindo deste pressuposto, pretende-se caracterizar a atividade que os alunos do 9.º ano de escolaridade realizam com tarefas de modelação, com recurso à calculadora gráfica e a sensores, no estudo de funções e as dificuldades que revelam nessas atividades. Trata-se de um estudo qualitativo de natureza interpretativa que recolheu a informação através da gravação de aulas, da análise de produções dos alunos e de um questionário. Os resultados mostram que os alunos realizam uma diversidade de atividades com tarefas de modelação, tais como interpretação das situações dadas, recolha de dados e sua organização em tabelas, tradução da informação desses dados através de gráficos e de expressões analíticas. Nestas atividades emerge algumas dificuldades, tais como distinguir a variável dependente da independente, utilizar escalas na subdivisão dos eixos cartesianos, restringir o domínio que contextualiza as situações dadas, encontrar o melhor modelo que se ajuste à situação dada e em distinguir os conceitos de proporcionalidade direta e inversa., The nature of tasks constrains the dynamic of the activities in the class. Among the typology of tasks, those of modelling, by their characteristics, give students the opportunity to engage in the construction of mathematical knowledge. Based on this assumption, we aim to characterize the activities that 9th grade students perform with modelling tasks in the study of functions, using the graphic calculator and sensors. We also aim to identify students’ difficulties in these activities. In this study, of qualitative and interpretative nature, data were collected by recording the classes, by analysing students’ productions, and by a questionnaire. Results show that students perform a diversity of activities with modelling tasks, such as interpretation of the situations provided, data collection and its organization in tables, and translation of those data into graphics and analytical expressions. In these activities, students reveal some difficulties, such as to differentiate dependent from independent variable, to use of scales in the subdivision of cartesians axes, to restrict the domain to one that contextualize the situations given, to find the better model that adjusts to the situation provided, and to differentiate the concepts of direct and inverse proportionality., info:eu-repo/semantics/publishedVersion

A proliferacao do uso dos meios de comunicacao eletronica proporciona formas de complementar as atividades de aprendizagem, principalmente com alunos da Educacao de Jovens e Adultos (EJA), como e o caso do PROEJA. Ao atender o retorno de alunos de PROEJA a escola, integrou-se a Plataforma Moodle na regulacao das suas aprendizagens na disciplina de Matematica. Com base nas atividades desenvolvidas na sala de aula e no ambiente virtual de aprendizagem, procurou-se averiguar as perspectivas dos alunos sobre o contributo da utilizacao do Moodle na sua aprendizagem de conteudos matematicos. A investigacao foi orientada por uma abordagem qualitativa e interpretativa, seguindo o design de estudo de caso. O uso dessa ferramenta proporcionou aos alunos uma aprendizagem mais dinâmica e envolvente, possibilitando-lhes o acesso ao conhecimento por outros meios, de modo que o conteudo escolar de matematica passou a ter novo sentido para eles. Oportunizou-lhes tirar suas duvidas com seus colegas e professores por e-mail ou mensagens nos foruns tematicos.

espanolEl presente articulo aborda como una futura profesora de matematicas moviliza y desarrolla sus conocimientos didacticos, en lo que se refiere al conocimiento del contenido matematico y al conocimiento pedagogico, en la preparacion y analisis de tareas de modelacion matematica recurriendo a la tecnologia. Este trabajo se desarrollo durante la fase final de su formacion academica, en el momento de la realizacion de las practicas. Se trata de un estudio interpretativo, bajo la forma de estudio de caso cualitativo, que demuestra que la realizacion de tareas de modelacion matematica y la ref lexion sobre ellas, recurriendo a la tecnologia, durante la fase de practicas constituye una oportunidad de desarrollo profesional para la futura profesora, tanto en lo que tiene que ver con su conocimiento del contenido matematico, activando conocimiento adquirido durante su formacion academica, como en lo relativo a su conocimiento pedagogico. En este sentido, las tareas de modelacion han permitido que la profesora en practicas entendiese que, ademas del modelo transmisivo, existen otros modelos de ensenanza con un caracter exploratorio que pasan por que el profesor proponga tareas matematicas mas abiertas y con un grado de dificultad mayor, que hacen participes los alumnos en una actividad matematica intensa y que pueden redundar en aprendizajes matematicos significativos. EnglishThis article discusses how a preservice teacher of mathematics develops and mobilizes their didactical knowledge, in the matter of mathematical content and of instructional knowledge, in the preparation and analysis of tasks of mathematical modeling, using technology. The work took place at the end of their initial education when they make their internship. It is an interpretive study in the form of a qualitative case study that shows that the performance of tasks of mathematical modeling and the thinking about it, using technology, during the internship it is an opportunity for professional development of the preservice teacher, both the level of their knowledge of the mathematical content, enabling knowledge worker during their initial training, as their instructional knowledge. At this level, the modeling task allowed the future teacher to understand that beyond the transmissive model, there are other models of teaching in an exploratory nature, in which the teacher proposes mathematical open tasks with a higher degree of difficulty, involving students in mathematical intense activity which may result in significant mathematics learning. francaisCet article discute la maniere dont une future enseignante de mathematiques developpe et mobilise son savoir didactique, au niveau de la connaissance tant du contenu mathematique que pedagogique, au cours de la preparation et l'analyse de tâches de modelisation mathematique qui font appel a la technologie. Ce travail s'est fait a la fin de sa formation initiale, au moment de la realisation du stage professionnel. Il s'agit d'une etude interpretative, sous la forme d'une etude de cas qualitative. La conclusion est que l'execution, pendant le stage, de tâches (accompagnees de reflexion) de modelisation mathematique, qui utilisent la technologie, favorise le developpement professionnel des futurs enseignants. Sont ainsi developpees les connaissances sur le contenu mathematique, en activant les acquis de la formation initiale, ainsi que celles au niveau pedagogique. Les tâches de modelisation ont permis au stagiaire de comprendre qu'il existe, en plus le modele transmissif, d'autres modeles d'enseignement d'orientation exploratoire. Le professeur propose alors des tâches mathematiques plus ouvertes, de degre de difficulte plus eleve, dans lesquelles les eleves s'investissent dans une activite mathematique intense, ce qui peut permettre des apprentissages mathematiques significatifs. portuguesEste artigo discute a forma como uma futura professora de Matematica mobiliza e desenvolve o seu conhecimento didatico, ao nivel do conhecimento do conteudo matematico e do conhecimento da pratica letiva, na preparacao e analise de tarefas de modelacao matematica, recorrendo a tecnologia. Este trabalho foi desenvolvido na fase final da sua formacao inicial, no momento em que realiza o seu estagio profissional. Trata-se de um estudo interpretativo, na forma de estudo de caso qualitativo, que mostra que a realizacao de tarefas de modelacao matematica e a sua reflexao, recorrendo a tecnologia, durante o estagio profissional, constitui uma ocasiao de desenvolvimento profissional da futura professora, tanto em relacao ao seu conhecimento do conteudo matematico, ao ativar conhecimento trabalhado durante a sua formacao inicial, como do seu conhecimento instrucional. Desta forma, as tarefas de modelacao permitiram que a estagiaria compreendesse que, para alem do modelo transmissivo, existem outros modelos de ensino, com um cunho exploratorio, que passam pela proposta pelo professor de tarefas matematicas abertas e com um grau de dificuldade mais elevado, que envolvem os alunos numa atividade matematica intensa e que podem redundar em aprendizagens matematicas significativas.

Na sociedade contemporânea os diversos recursos tecnologicos, no que tange as TIC, estao sendo uma necessidade cada vez maior no contexto educacional. Considera-se que as mesmas auxiliam consideravelmente no processo de ensino e aprendizagem, desde que sejam utilizadas adequadamente. Abre-se a discussao sobre a formacao do professor de Matematica e a sua pratica pedagogica, em especial quando o foco e sobre o uso das TIC. O recorte deste estudo abrange a pratica pedagogica de professores de Matematica atuantes em cursos oferecidos no IFSC relativa ao efetivo uso das TIC na sua pratica. Analisa-se a integracao da Plataforma Moodle nas suas estrategias de ensino e busca-se perceber as suas perspectivas sobre a implementacao da mesma. A integracao do Moodle possibilitou uma inovacao metodologica no desenvolvimento do processo de ensino e de aprendizagem de Matematica. Observa-se que a formacao dos professores de Matematica, relativo ao uso das TIC, nao atende as necessidades que eles encontram no contexto educativo uma vez que eles se deparam com ambientes de trabalho que ainda nao oferecem infraestruturas adequadas.

Este estudo foca o conhecimento de conteudo de Geometria de professores do 1.o ciclo do ensino basico portugueses e as suas perspetivas sobre o ensino deste tema nos primeiros anos de escolaridade. Os dados foram recolhidos atraves de um teste sobre topicos de Geometria e de um questionario, que foi respondido por 14 professores. O estudo revela que os professores tem acentuadas dificuldades em topicos como transformacoes geometricas, propriedades da mediatriz e dos quadrilateros e tambem na determinacao dos valores das grandezas area e volume. Sobre as perspetivas relativas ao ensino de Geometria, a maioria dos professores valoriza estrategias de ensino centradas na sua propria atividade e na repeticao de exercicios pelos alunos. Para ultrapassarem dificuldades que os alunos apresentam na aprendizagem de topicos de Geometria, alguns professores agrupam esses alunos com outros que revelam melhor compreensao, enquanto outros recorrem a repeticao de exercicios. As dificuldades e limitacoes que os professores revelam no seu conhecimento de conteudo matematico sobre topicos da Geometria elementar refletem-se acentuadamente nas suas perspetivas sobre o ensino e aprendizagem da Matematica.

Com o presente trabalho pretendemos refletir sobre as motivações que conduzem os professores na seleção e planificação dos materiais que utilizam nas aulas. O texto devolve algumas análises realizadas num estudo exploratório com duas professoras que foram acompanhadas, em aulas de introdução a um mesmo tópico matemático, em turmas do sétimo ano de escolaridade. Pela observação de aulas, entrevistas e análise de uma narrativa produzida por uma das professoras, foi possível perceber as suas conceções e conhecer as suas práticas, caraterizando as abordagens que foram adotadas, assim como as posições que escolhem face à avaliação das aprendizagens dos alunos. Partindo daqui, problematizam-se as diferentes abordagens utilizadas e as intenções que as norteiam, à luz do “novo” paradigma educativo, segundo o qual o aluno deve ser o centro do processo de ensinoaprendizagem, cabendo ao professor a responsabilidade de criar condições para que isso aconteça, nomeadamente ao nível da reconstrução e contextualização do currículo e da promoção de mecanismos de avaliação sistemática., With this work we propose to reflect on the motivations that lead teachers in the planning and selection of materials they use in class. The text gives us some analysis about an exploratory study with two teachers who were followed in introductory classes to the same mathematical topic in classes the seventh grade. Through classroom observation, interviews and analysis of a narrative produced by one of the teachers, it was revealed their conceptions and allowed to know their practices, featuring the approaches that have been adopted, as well as the positions they choose to face assessment of student learning. From here, to problematize the different approaches used and the intentions that guide the light of the "new" educational paradigm, whereby the student must be the center of the teaching-learning process, being the teacher the responsibility to create conditions for that to happen, especially in terms of reconstruction and contextualization of the curriculum and promoting mechanisms for systematic evaluation.